%%This is a very basic article template.
%%There is just one section and two subsections.
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\title{微分几何考试复习}
\author{徐峥}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle

\section{简介}
\label{sec:intro}
\subsection{声明}
本文档是一个初步的，仍在继续完善的文档。作者不保证其正确性及可靠性。如发现谬误请保持宽容和谅解并告知作者。
文档最新版本PDF和\LaTeX 源码可在如下地址被找到：\url{https://code.google.com/p/hust-mars/}。
\subsection{文档组织}
本文档组织如下：\ref{sec:notion}章列举并简单解释了一些基本的概念和术语。 \ref{sec:formula}章给出了必背和选背的公式表。 
\ref{sec:necexer}章给出了必考题的题型以及解答。\ref{sec:optexer}章给出了可能考到的预测题及解答。
\subsection{使用方法}
若时间紧急，请优先复习必背公式，并熟悉必考题做法。 若时间充裕，请按章节顺序精读本文档。

\section{基本概念复习}
\label{sec:notion}
\subsection{一些基本思想}
证明长度相同： $r'(t)\cdot r(t) \equiv 0$ (保长度)\\
证明方向相同： $r'(t)\times r(t) \equiv 0$ (保方向，保角)\\


\section{公式表}
\label{sec:formula}
\subsection{必背公式}
\subsubsection{曲率，挠率和Frenet标架场}
\paragraph{Frenet标架场}
\begin{align}
\begin{array}{lll}
\alpha(s) & = & \dot{r}(s)\\ 
\beta(s)  & = & \frac{\dot{\alpha}(s)}{|\dot{\alpha}(s)|} \\
\gamma(s) & = & \alpha(s) \times \beta(s)
\end{array}
\end{align}
\paragraph{曲率与挠率} \\
曲率：
\begin{align}
k(s) = |\dot{\alpha}(s)|
\end{align}
挠率：
\begin{align}
\tau(s) = -\dot{\gamma}(s)\cdot \beta(s)
\end{align}
\subsubsection{三线三平面}
请熟悉第四版《微分几何》书上的P34 图1-15。
\paragraph{切向量} $\alpha$
\paragraph{主法向量} $\beta$
\paragraph{次法向量} $\gamma$
\paragraph{法平面} $[r(s) - r(s_0)]\cdot \alpha = 0$
\paragraph{从切平面} $[r(s) - r(s_0)]\cdot \beta = 0$
\paragraph{密切平面} $[r(s) - r(s_0)]\cdot \gamma = 0$

\subsection{选背公式}
Under construction.
\section{必考题}
\label{sec:necexer}
\subsection{曲率，挠率和Frenet标架场}
Under construction.

\section{预测题}
\label{sec:optexer}
Under construction.


\end{document}
